دانلود حل مسائل تئوری مقدماتی اعداد و کاربردهای آن تالیف کنت روزن به صورت PDF و به زبان انگلیسی در 239 صفحه

نظریه اعداد (در گذشته به آن حساب یا حساب پیشرفته می گفتند) شاخه ای از ریاضیات محض است که خود را عمدتاً وقف مطالعه اعداد صحیح نموده است. ریاضیدان آلمانی، کارل فردریش گاوس (1777-1855) گفت: "ریاضیات ملکه علوم است، و نظریه اعداد ملکه ریاضیات." نظریه اعداد دانان به مطالعه اعداد اول و همچنین خواص اشیائی که از اعداد ساخته می شوند می پردازند (به عنوان مثال اعداد گویا) یا تعمیم هایی از اعداد تعریف می کنند (مثل اعداد صحیح جبری).

اعداد صحیح را می توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله ای) در نظر گرفت. سوالات حوزه ی نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می شوند. می توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله ای).

اصطلاح قدیمی برای نظریه اعداد حساب بود. اوایل قرن بیستم، عبارت "نظریه اعداد" جایگزین آن شد. (کلمه ی "حساب" نزد عوام به عنوان "محاسبات مقدماتی" پنداشته می شود. همچنین این اصطلاح در منطق ریاضیات به معنای حساب پئانو و در علوم رایانه به معنای حساب ممیز شناور می باشد.) استفاده از اصطلاح حساب برای نظریه اعداد در نیمه دوم قرن بیستم رواج پیدا کرد، ادعا می شود که تترویج آن تحت تأثیر فرانسوی ها بوده است. بخصوص، اصطلاح حسابی به عنوان یک صفت نسبت به نظریه اعدادی ترجیح داده می شود.

در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. مسائل بخش پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م. م)، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد کامل perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند.

حل بسیاری از مسائل در نظریه مقدماتی اعداد بر خلاف ظاهر ساده آن‌ها نیازمند کوشش بسیار و به‌کار گرفتن روش‌های نوین است. چند نمونه:

• حدس گلدباخ در مورد نمایش اعداد زوج به صورت جمع دو عدد اول،
• حدس کاتالان در مورد توانهای متوالی از اعداد صحیح،
• حدس اعداد اول تؤامان در مورد بینهایت بودن زوج‌های اعداد اول،
• حدس کولاتز در مورد تکرار ساده،
• حدس اعداد اول مرسن در مورد بینهایت بودن اعداد اول مرسن و ...

همچنین ثابت شده که نظریه معادلات دیوفانتی تعمیم‌ناپذیر است.

فهرست مطالب:

فصل اول: اعداد صحیح

فصل دوم: نمایش اعداد صحیح و عملیات ها

فصل سوم: اعداد اول و بزرگترین مقسوم علیه مشترک

فصل چهارم: هم نهشتی

فصل پنجم: کاربردهای هم نهشتی

فصل ششم: چند هم نهشتی خاص

فصل هفتم: توابع ضربی

فصل هشتم: رمزنگاری

فصل نهم: ریشه های اول (Primitive Roots)

فصل دهم: کاربردهای ریشه های اول و مرتبه یک عدد صحیح

فصل یازدهم: باقی مانده های درجه دوم

فصل دوازدهم: کسرهای اعشاری دهدهی (Decimal) و کسرهای اعشاری ادامه دار (Continued)

فصل سیزدهم: چند معادله غیر خطی دیوفانتین

فصل چهاردهم: اعداد صحیح گاوسی

ضمیمه اول: اصول مجموعه اعداد صحیح

ضمیمه دوم: ضرایب دوجمله ای